[转]关于“抛球悖论”的一点思考

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[注]此文是当年在吴国盛老师手下读书时写的,N年前的事情了。记得当初我写完后还直接发给吴老师看,不过倒没见他对此有什么反应。吴老师还是我的硕士论文指导老师,不知不觉很多年过去了……贴出这篇旧文,回忆下当初充满书香门第情调的那种初生牛犊般的求学感觉。

关于“抛球悖论”的一点思考

王 键

一、什么是抛球问题

在《自然本体化之误》(湖南科学技术出版社,1993年)一书关于芝诺悖论的一章中,该书的作者吴国盛教授谈到了一个与芝诺悖论相关的问题:即关于“无 限机器”(infinite machine)所产生的悖论,也被称为“超级任务”(super task)。 实际上也就是所谓的抛球悖论(问题)。

原书中的相关论述如下:“最有名的无限机器是抛球机器,它是这样设计的:一个小球从a处开始向b处抛动,令小球从a处抛到b处时花 1/2分钟,从b抛回a处花1/4分钟,依此类推,来回抛球的时间依次是:

1/2,1/4,1/8……,1/2n……

到第n次时所花全部时间是:

T=1/2+1/4……+1/2n=1-1/2n

现在要求机器在时间到达一分钟时停下来。可是问题出现了,人们发现无法确定小球最终落在何处。从上式看,当n取奇数时,落在b处,取偶数时落在a处, 可是小球越抛越快,只有在经过无限次之后才回到达一分钟,但一个无限数是没有奇偶之分的,因此,搞不清楚一分钟的时候小球处在什麽位置,也就是说,小球没 有终点,超级任务无法完成。”(参见该书第94页)

应该说,从逻辑上看这段分析是没有任何问题的。而对于这一类的问题,吴教授也表明了自己的态度:“许多人已经证明了,超级任务是不可能完成的,无限机器不存在。”(同上,第94页)

二、它的另一种表述形式

但上面这个“抛球机器”的例子有点别扭,因为它不够直观。我们很难想象一个有质量的小球可以无限加速,无穷摆动。那么很简单地,我们完全可以换个方式重新表达刚才的问题,把它转化一下:不妨暂且称其为“开关灯问题”:

假设有两盏灯,分别是a和b,现在让灯a先亮,过1/2分钟后让灯b亮,同时灯a熄灭,再过1/4分钟让灯a亮,同时灯b熄灭,依此类推,每次交换亮灯所间隔的时间依次是:

1/2,1/4,1/8……,1/2n,……

到第n次时所花全部时间的总和是:

T=1/2+1/4……+1/2n=1-1/2n

现在要考察的是:在时间刚好到达一分钟时,究竟是哪个灯在亮?是灯a还是灯b?实际上这个问题完全等价于刚才的抛球机器问题,重要的一点是:换一种不同 的表达方式可以从另一个角度使问题的实质显露的更加清楚一些。对于这个亮灯的问题,答案产生的矛盾显然是和抛球问题完全类似——在时间到达一分钟时,两个 灯不能都在亮,那么也无法最终确定到底是哪个灯在亮。

三、解释这一问题的尝试

但是,对 于那个“抛球机器”问题,悖论究竟是如何产生的呢?刚才已经说了,这段论述对问题的分析中的分析并没有逻辑上的错误。然而,它的出发点却可能是错误的—— 要产生悖论,所隐含的一个前提条件是:当时间到达一分钟时,小球只能具有一个固定的位置,要麽a,要麽b。这也就是说,如果“小球同时在a和b两个位 置”,则被认为是一种“不可能”出现的状态。而这就是所谓抛球机器悖论产生的一个基本前提。把小球换成灯泡的例子,道理也是一样的:它假定了在到1分钟 时,两个灯泡不能同时亮。由此引出悖论。问题在于,这个假定同问题的预设存在矛盾:按照题目的设计,既然到了一分钟,也就意味着次数n变成了超穷树,即 “无穷大”。那么在这个时刻,两次亮灯之间的时间差已经变成了趋零的“无穷小”。在这种情况下,两个等不能同时亮的假定已经开始失去意义。既然如此,悖论 不是自然被消解了么?

总之,这一“抛球悖论”初看起来的确有些自相矛盾,但其实却不是这个问题本身,而是这个悖论的产生:问题中出现 的小球速度无限大、违反惯性定律、加速过程如何可能等等本该颇受质疑的超经验现象都被不加怀疑地予以接受,然而当结果产生了一个超经验的现象时,它却被当 作是一个“悖论”而出现了。同样,换作灯泡的例子,两个灯泡同时亮的不可能性,却已经成为了题目预设的必然结果。而如果问题的前提本身就存在某些反常,那 麽由这些前提而产生的反常绝对不应该被当成一个“悖论”或者“反常”。

四、同芝诺悖论的区别

关于这两个悖论,我们认真思考一下就会发现它和芝诺悖论存在着一个很大的区别。当然,如果追根溯源,这几个悖论实际上在一定程度上都可以归结为数学问题。

这就仿佛同这样一个函数相类似:

f(x)=sin(1/x)

现在问此函数在0点取值是什麽?

从数学分析的观点来看,在0点, 函数值f(x)发散,且有界但并不收敛。因此从数学的观点看:问函数f(x)在0点取什么值 就是一个没有意义的问题(当然哲学家们也许并不这麽看)。

对于芝诺的悖论,关键在于一点:如果把芝诺问题化为数学函数,那麽当这个函数f(x)的变元x 趋向于某一定值时,函数值f(x)也是趋向于某一定值的(换句话说,它的数学模型是一个连续函数)。而对于无限抛球问题,将其化为数学函数后,我们会发现 此函数与芝诺悖论对应的函数完全不同:对于这个函数f(x),当变元x 趋于某一定值时,函数值f(x)将是有界的但不是收敛的(与我举的第一个函数的例子相类似)。

五、是否能得出一个结论?

我以为,出现以上悖论的实质在于赋予某些“看似矛盾”的数学结构以经验的内容。这些数学结构,也一度曾让数学家们感到困惑。但是随着数学分析基础理论的建立和奠定,它们逐渐不再被看成悖论。然而,在被赋予了某些具体经验内容之后,它们仍然是难以被理解和接受的。

如此说来,我更倾向于认为:至少可以说,从局限在数学内部的观点来看,无限抛球问题并不存在悖论。但是跳出数学的圈子、从其他的观点来看,是否也可以这麽说倒还可以存疑。

不过,我感觉提出的这个问题似乎还不够清晰——对这个问题的回答,我暂时只能保持沉默。

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